Arvude imedest

Pikka sissejuhatust loole ei tule, vaid panen selle loo tervenisti siia ja igaüks mõelgu ise, miks arvude maailmas leidub numbrite jadasid, mida tegelikult justkui ei tohiks olemaski olla. Või veel enam, kuskil arvudereas on numbrid, mis on teistest erinevate matemaatiliste omadustega. Algava loo juhatab perfektselt sisse lause Shakespeare Hamletist: Taevas ja maa peal on rohkem asju, Horatio, kui meie filosoofia eales uneski näeb...

Arvude imedest.
Salapärane 142857. — 12 täiuslikku arvu. Arv, milles 369 miljonit numbrit. 

142857. Kas tuleb see, kes eelpool toodud numbriterida loeb, mõttele, et too numbririda kujutleb iseäranis salapärast arvu? Kindlasti ollakse selles teadlik väga-väga harva. Sellest hoolimata on 142857 tõepoolest täiesti iseäralik arv. Arvul on nimelt tähelepanuväärne ja üllatav omadus, et see jääb numbrite poolest muutumatuks, kui seda arvu teatud teiste arvudega kasvatada. See kõlab kõrgeimal määral haruldasena, sest näib enesestmõistetavana, et üks arv kasvatamisel teisega peaks andma esimesest põhjalikult lahkneva uue numbrirea. Üldiselt on see ka nii, kuid arv 142857 on selles reeglis tähelepanuväärseks erandiks.

Kui kasvatame 142857 näiteks 3-ga, siis saame uue arvuna 428571. See arv koosneb aga täpselt samadest numbritest kui esimenegi ja samuti on ka numbrite järjekord samane. Vahe on ainult selles, et esimene algab 1-ga, teine 4-ga. Kasvatame oma iseäralikku arvu 5-ga, siis saame 714285, mis numbrite ja numbrijärjekorra poolest on jällegi sama arv mis esimenegi. Ja samane on tulemus ikka, kui meie 142857 kasvatame ükskõik millise arvuga 1-st 6-ni, milles lugejad katsetades kiiresti võivad veenduda.

Veel selgemini esineb selle nähtuse tähelepanuväärne omadus, kui meie mainitud numbrirea paigutame otsejoone asemel sõõri, nii nagu tunniarvud kellanumbrilaual. Seda kujutab antud joonis. 

Kuna sõõril teatavasti ei ole algust ega lõppu, siis on arvudering, mille meie mainitud numbritest moodustame, samane kõigile arvuderidadele, mis me ülalkirjeldatud kombel kujundame.

On veel palju teisi arve samase tähelepanuväärse omadusega. Näiteks on samalaadne ka pikk arv 052 631 578 947 368 421 (null selle arvu alguses on tähtis). Seda arvu võime kasvatada iga arvuga 1-st 18-ni ja meie saame tulemuseks igakord sama numbrijärjekorra - need 18 arvu, mis saame tulemuseks, annavad, nagu ülevalgi, ringikujuliselt korraldatuna, sama numbrilaua.

Lõppeks võib öelda, et sääraseid ringarve on lõpmatult palju. Kes näiteks jagab 1-st 59-le (1:59), see võib konstateerida, et 58 esimest numbrit koma järel kujundavad arvu, millel on ringarvu omadus; sel arvul on kasvatamisel arvudega 1-st kuni 58-ni ikka samane numbrijärjekord, s.t. samased ringnumbrid. Kuipalju sarnaseid arvusid ka et olekski, kuid siiski need kujundavad kõigi arvude üldkogus iseäralise grupi, mis mainitud tähelepanuväärse omaduse tõttu on kõrgehuvilised mitte ainult erialalistele matemaatikuile, vaid ka igale arvudesõbrale.
Iga inimene teab, mis on algarv. Ja seepärast ei olegi vaja öelda, et selleks on arv, mis järelejäägita ei jagune ühelegi teisele arvule, peale ühe ja iseenda. 7, 13, 97, 1093 on, et neist mõningaid nimetada, algarvud. Vaatleme nüüd arvu 2^127 — 1, s. t. arv 2 127-ndas astmes (2 kasvatatud 2-ga 127 korda) ja siis sellest maha arvatud 1. Ka see arv ei näi endas sisaldavat midagi iseäralikku, kuid osutub siiski aritmeetiliseks tähelepanuväärsuseks. See arv on nimelt siiani teada suurim algarv üldse, sest on lõpmatult palju algarve, nagu meie seda täiesti kindlalt teame ja suurima täpsusega võime ka tõestada, nii et ühelgi arvul ei saa olla nõudeid olla suurim algarv üldse. Nimetatud arvule järgneb arvudereas lõpmatult palju teisi algarve, mida seni aga ei ole suudetud kindlaks teha, sest arvude kõrgemates regioonides on algarvude kindlakstegemine sagedasti väga raske ja keeruline töö, milleks vaja arvuteaduse teravmõistuslikumaid abinõusid. Kõigist tuntud algarvudest, mida õieti rohke hulk, on ülaltoodud arv suurim ja see asjaolu annab sellele arvule õigustatud tähtsuse. See algarv tehti kindlaks alles mõne aasta eest ja viimati on seda arvu uuesti katsetatud numbrilisena, järgmise 39-kohalise arvuna: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. See arv on loetav järgmiselt: 170 sekstiljonit 141 183 kvintiljonit 460 469 kvartiljonit 231 731 triljonit 687 303 biljonit 715 884 miljonit 105 727. Ka neile lugejaile, kel veel täiesti meeles teiste riikide inflatsiooniajad, peaks see arv mõningal määral meeldima, sest toodud arvu vastu on ka inflatsiooniaegsed „astronoomilised arvud" ainult tühi puru. 

Eeldame, et kellelgi on niipalju sente, nagu seda väljendab eelpooltoodud hiigel-arv, siis võiks selle sentide-summa omanik puhtas rahas välja maksa kogu maakera, ja seda ka juhtumil, kui kogu maakera oleks puhtast kullast. Ning ta võiks osta mitte ainult ühe, vaid terve miljardi sääraseid kuldplaneete! Nii ei ole siis suurim tuntud algarv tõepoolest mingi vähesus. 

Vaadake korra lihtsat arvu, milleks on 28. Kas leiate selles arvus midagi erilist? Vististi mitte! Siiski on aga see arv täiesti iseäralikku laadi, koguni tavatu haruldus mõõtmatus arvudereas. Sest selle arvu jagajad, nimelt 1, 2, 4, 7 ja 14, annavad kokkuarvatult jälle 28. See on aritmeetiliselt kõrgeimal määral tähelepanuväärne omadus, mida arv 28 jagab veel ainult väga väheste muude arvudega. Lähemalt võetuna kuulub sellesse iseäralikku gruppi ka väike arv 6, sest selle arvu jagajate, 1+2+3, summa on samuti 6. Siis on säärase omadusega arvuks 496, edasi arv 8128 ja veel edasi on sellelaadilisi arve teada ainult mõned üksikud suured. Tolle tähelepanuväärse omaduse tõttu nimetatakse neid arve täiuslikeks arvudeks. Siiani tuntakse ainult 12 täiuslikku arvu, kuigi juba mainekad matemaatikud on nendega tegelenud. Juba Eukleides, kuulus kreeklaste matemaatik, kes elas 4. sajandil enne Kristust, teadis täiuslike arvude kohta kõike seda, mis meie tänapäevgi teame. Müstilistes kujutlustes, mida vana- ja keskaja-inimesed sidusid arvudega, etendasid täiuslikud arvud veel muud osa. Usuti, et täiuslikel arvudel on peale nende eriomaduse veel teisi omadusi. Neile arvudele lisati kosmoloogilist ja nõiduslikku tähendust ja nende arvudega tehti iseäralikku arvude-maagiat. Peale muu on täiuslike arvudega ühendatud arvuteaduse seni veel lahendamata probleem. Kõik tuntud täiuslikud arvud on paarisarvud. Sellelaadilist paaritut arvu leida ei ole seni õnnestunud, teisest küljest ei ole ka tõestatud, et sellelaadiline paaritu-arv oleks võimatu. Kes suudab selle viimase tõestada, või leiutab paaritu täiusliku arvu, see lahendaks seni asjatult selgitada püütud matemaatika-probleemi ja võiks selle eest, võib-olla, saada doctor honoris causa tiitli. 

Milline on suurim arv, mida võimalik kirjutada kahe numbriga? Kes arvab, et 99 on tugevasti eksiteel, sest 9^9, see tähendab 9 üheksandas astmes või teisiti 9×9×9×9×9×9×9×9 on 387 420 489, on võrdsusetult suurem arvuväärtus, mis kahe numbriga väljendatav. Milline on aga suurim arv, mida saab kirjutada kolme numbriga? Probleem on pisut komplitseeritud. 999 langeb mõistetavalt kohe eemale, sest 99^9 ja 9^99 on eelpoolse järgi selgesti määratult suuremad arvuväärtused. Kuid suurim kolmenumbriline arv ei ole ükski neist eelpoolsetest, vaid selleks on väljendus 9(9^9), see tähendab 9 üheksandas astmes, mis viimane aste on ka veel 9 üheksandas astmes. 9^9 on, nagu eelpool selgus, 387 420 489, siis on 9(9^9) võrdne 9 astmes 387 420 489. Tavalise numbrirea abil väljendades algab see arv 233-ga ja teda tuleb kirjutada 369 miljoni numbriga. Selle arvu-koletisega võrreldes oleks ka eelpool toodud suurim algarv ainult kaduv aatomike. Kui keegi soovib 9(9^9) kirjutada tavalise numbrireana trükitähtede suuruses, siis tuleks sellest arvust 1000-kilomeetri pikkune rida. Seda arvu-koletist, mis irvitab inimeste igasuguse kujutlusvõime üle, võib aga teisiti väljendada kolme lihtsa numbriga, mis on kenaks näiteks selle kohta, kuidas matemaatika sümboolse kirjaviisi tõttu on võimalik ka suurimaid arvuväärtusi väljendada hõlpsasti ja lihtsasti.

LÕPP

Allikas: Päewaleht, nr. 53, 23 veebruar 1931.